Matemática-3ª Semana

Matemática-3ª Semana

Representações, gráficos, transformações (I)

Profº. Drº. Walter Spinelli

Exemplos de gráficos
A e B - é uma função
C - não é uma função

Eixo das abcissas:

eixo das ordenadas:

K= valor da constante

Representações, gráficos, transformações (II)

Profº Drº. Walter Spinelli

Função Linear do tipo =ax+b

a= Coeficiente angular tem relação com a inclinação

b= coeficiente linear

Parábulas:

Sequência

Profº. Drº.José Luiz Pastore Mello

Sequência aritmética

a1 + a2 +a3 + a4

3,      7,    11,   14

  + 4     +  4     +4

a1=3

a2= 3+4

a3= a2+4

an= an-1 +4   - fórmula de recorrência

a1= 3

a2= 3+4

a3= 3+2.4 =11

a4= 3+ 3.4 =15  

an = 3+(n-1).4

an = 4n-1  - fórmula posicional

Sempre será uma função do 1º grau do tipo  Y = ax + b

Amarelo - a partir do próximo mês é fertil

Vermelho - a partir do 2º mês é fertil

Verde - já é fertil

Sequência (II)

Profº Drº. José Luiz Pastore Mello

Séries são somas de sequência com infinitos termos.

Sequências numéricas que é a diferença entre o termo e o anterior é sempre constante é uma sequência aritmética.

Sequência geométrica é quando a divisão, o quociente entre um termo e seu anterior é sempre constante.

A sequência de Grandi é a sequência que tem números alternados.

Sequência harmônica é o inverso dos números naturais.

Sequência decimal

No caso da série geométrica é convergente

Atividades 

Aula 9

1) Observe os gráficos desenhados no plano cartesiano. A função f tem equação: $f(x) = - 0,5x + 2$. Qual é a equação de $g$?

Analisando o gráfico, vemos que $f(x)$ é uma função linear decrescente, pois o coeficiente de $x$ é negativo e vale $-1/2$.

O coeficiente de $x$ também é chamado de coeficiente angular da reta, dado por $m=-1/2$, que representa a inclinação da reta em relação ao eixo dos $x$.

O termo independente de $f(x)$ é o $2$, ou seja, é o termo que não depende de $x$. Este termo é chamado de coeficiente linear da reta e é o ponto onde a reta corta o eixo dos $y$.

Na função $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x+2$, se fizermos $x=0$, obteremos $y=2$, que é o ponto onde a reta corta o eixo dos $y$.

O ponto $x$ por onde a função $f(x)$ corta o eixo dos $x$ também é chamado de zero da função $f(x)$, ou seja, é o valor de $x$ no qual, substituindo em $f(x)$ resulta igual a zero.

Para encontrarmos o zero da função $f(x)$, igualamos a zero encontrando assim a equação:

$$-\frac{1}{2}x+2=0$$

Resolvendo essa equação, obtemos $x=4$.

$$-\frac{1}{2}x+2=0 \Rightarrow -\frac{1}{2}=-2 \Rightarrow \frac{1}{2}=2 \Rightarrow x=4$$

Isso confirma que $\displaystyle f(4)=-\frac{1}{2}x+2=0$.

Agora já podemos encontrar a função $g(x)$, pois já temos o valor de $x$, onde $g(x)=f(x)$, que é o mesmo zero para as duas funções.

Vemos também que o coeficiente linear de $g(x)$ é $-2$, que é o oposto do coeficiente linear de $f(x)$, simétricos em relação ao eixo dos $x$.

Então, $g(x)$ deve ser uma função parecida com:

$$g(x)=mx-2$$

Por $g(x)$ ser uma função crescente, logo o coeficiente angular $m$ deve ser positivo.

O coeficiente angular de uma reta é definido como sendo a inclinação da reta, que nada mei é do que a tangente do ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo dos $x$.

Temos então que:

Assim:

$$m=\text{tg}(\theta)=\frac{y_b-t_a}{x_b-x_a}=\frac{0-(-2)}{4-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Desta forma, o coeficiente angular de $g(x)$ é $m=1/2$:

$$g(x)=\frac{1}{2}-2$$

As funções $f(x)$ e $g(x)$ são simétricas em relação ao eixo dos $x$. Então, para um mesmo valor de $x$ atribuído às funções $f(x)$ e $g(x)$, obteremos valores de $y$ opostos.

Por exemplo, se atribuirmos valores para $x$, para as duas funções, obteremos valores opostos. Podemos usar o Excel para obter uma tabela de valores:

Vemos que para $f(x)$, valores menores que $x=4$ nos fornece $y$ positivos e valores maiores do que $x=4$, nos fornece $y$ negativos. O oposto ocorre para $g(x)$.

aula 10
Dada a função quadrática $g(x) = x^2+ 4x – 3$, escreva-a na forma $y (x+k)^+p$ determine as coordenadas do vértice da parábola que representa g(x) no plano cartesiano.

Devemos completar quadrado. Assim:

\begin{equation*}
x^2+4x-3=0\\
x^2+4x=3\\
(x^2+4x+Q)=3+Q
\end{equation*}

$Q$ é o quadrado da metade do coeficiente de $x$. Assim:
\begin{equation*}
x^2+4x+4=3+4\\
x^2+4x+4=7\\
(x+2)(x+2)=7\\
(x+2)^2=7
\end{equation*}

Para encontrarmos as coordenadas do vértice da parábola, usamos as fórmulas:

$$x_V=-\frac{b}{2a} \qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

$$x_V=-\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$

$$y_V = -\frac{4^-4\cdot 1\cdot (-3)}{4\cdot 1}=-\frac{16+12}{4}=-7$$

As coordenadas do vértice da parábola $x^2+4x-3=0$ são $x_V=-2$ e $y_V=-7$.

Aula 11

1.1.  Encontre uma fórmula recursiva e uma fórmula posicional para determinar o número de pontos da n-ésima figura em cada sequência de números figurados indicada a baixo.

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

a) [desenho]

Fórmula posicional: $a_n=n^2$

$n=1 \rightarrow a_1=1^2=1$
$n=2 \rightarrow a_2=2^2=4$
$n=3 \rightarrow a_3=3^2=9$
$n=4 \rightarrow a_4=4^2=16$

Fórmula recursiva: $a_n=a_{n-1}+(n-1)+n$

$n=1 \rightarrow a_1=1$

$n=2 \rightarrow a_2=a_{2-1}+(2-1)+2=a_1+3=1+3=4$

$n=3 \rightarrow a_3=a_{3-1}+(3-1)+3=a_2+5=4+5=9$
$n=4 \rightarrow a_4=a_{4-2}+(4-1)+4=a_3+7=9+7=16$

b) [desenho]

Fórmula posicional: $a_n=n^2+n^2-n$

$n=1 \rightarrow a_1=1^2+1^1-1=1$
$n=2 \rightarrow a_2=2^2+2^2-2=6$
$n=3 \rightarrow a_3=3^2+3^2-3=15$
$n=4 \rightarrow a_4=4^2+4^2-4=28$

Fórmula recursiva: $a_n=n(n+n+1)$

$n=1 \rightarrow a_1=1(1+0)=1$
$n=2 \rightarrow a_2=2(2+2-1)=6$
$n=3 \rightarrow a_3=3(3+3-1)=15$
$n=4 \rightarrow a_4=4(4+4-1)=28$

Aula 12

2.  A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão q entre -1 e 1 é dada pela fórmula

$$s=\frac{a_1}{1-q}$$

Usando essa informação, determine a fração geratriz das dízimas periódicas indicadas abaixo:

a. $0,7777\cdots$

$$0,777\cdots = \frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\cdots$$

O termo $a_1=7/10$ e a razão $q=1/10$. Assim:

$$S=\frac{\displaystyle \frac{7}{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=\frac{7}{10}\cdot \frac{10}{9}=\frac{7}{9}$$

A fração geratriz é dada por:

$$\frac{7}{9}$$

b. $0,161616\cdots$

$$0,161616\cdots = \frac{16}{100}+\frac{16}{10000}+\frac{16}{1000000}+\cdots$$

O termo $a_1=16/100$ e a razão $q=1/100$. Assim:

$$S=\frac{\displaystyle \frac{16}{100}}{1-\displaystyle\frac{1}{100}}=\frac{16}{100}\cdot \frac{100}{99}=\frac{16}{99}$$

A fração geratriz é dada por:

$$\frac{16}{99}$$

c. $0,23333\cdots$

$$0,2333\cdots = \frac{2}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\cdots$$

O termo $a_1=3/100$ e a razão $q=1/10$. Assim:

$$S=\frac{\displaystyle \frac{3}{100}}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=\frac{3}{100}\cdot \frac{10}{9}=\frac{3}{90}$$

A fração geratriz é dada por:

$$\frac{2}{10}+\frac{3}{90}=\frac{18+3}{90}=\frac{21}{90}$$