Matemática-1ª Semana
Lógica, matemática e linguagem cotidiana (I)
Profº. Drº. Nílson José Machado
A primeira linguagem é a língua materna.
.
Na matemática só há sentenças declarativas.
Só é uma sentença matemática se pode se caracterizar verdadeiro ou falso, é preciso, exato.
Exemplos:
AU - Todo corinthiano é fanático.
NU - Nenhum São Paulino luta box.
AP - Existem corinthianos que são fanáticos.
NP - Existem São Paulinos que não lutam box.
Interpretamos assim: O número X somado ao número 7 é igual a 11
Todas as equações são perguntas.
Problemas são perguntas.
X+Y+Z= 2000
Z= X+Y
Z+Z= 2000
2 Z = 2000
Z = 1000
A maior parte é 1000m²
Lógica, matemática e linguagem cotidiana (II)
Profº. Drº. Nílson José Machado
2x + 2y = 24
x.y = 32
x + y = 12
x.y = 32
12 - x = y
x. (12 - x) = 32
x² - 12 + 32 = 0
Um dos lados é 4 e o outro é 8.
A -1 O que afaneus, zaragós, chumpintazes?
Na lógica não entramos no conteúdo das proposições, só na verdade ou falsidade.
conjunto
Tudo que é A é Z e tudo que é Z é C; então tudo que é A é C
A - 2 A argumentação está perfeita, mas a verdade é duvidosa.
Está mais evidente que as premissas são duvidosas. A verdade da conclusão depende de duas coisas: Da boa argumentação e da verdade das premissas.
Conjunto
Argumento não é bom.
Números: uma visão histórica
Profº. Me. José Luiz Pastore Mello
N - números naturais {0,1,2,3,4,5...}
Z - números inteiros {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...}
Q - números racionais -3/5 , 0,5, 1,666...
R - números reais
C - números complexos
Boas perguntas
1ª) Quantos números primos existem? (números divisíveis por 1 e por ele mesmo)
1 e 1.000 - 168
1.000 e 2.000 - 135
2.000 e 3.000 - 127
3.000 e 4.000 - 120
4.000 e 5.000 - 119
Teorema
Supondo que os números primos sejam finitos
{ P1,P2,P3...,Pn}
P1.P2.P3...Pn+1
(P1.P2.P3…PN+1)/P1
Se Pn+1 é divisível pelo próprio Pn+1, logo ele é um número primo, portanto a hipótese inicial está errada.Os números primos é infinito.
Esse argumento foi usado por Euclídes, um matemático que viveu 300A.C., esse argumento é basante elegante e é chamado para demonstração de forma de redução absurda.
2ª) É possível saber se a representação decimal de 1/7 é dízima periódica sem efetuar a divisão?
Se a fração já é uma fração irredutiva (fatorada ao máximo),se fatorando aparecem 2 e 5, será possível transformar essa fração com denominador em potencia de 10, cuja a representação decimal será uma representação finita.
Se aparecer qualquer outro denominador que não seja potencia de base 2 e 5, será uma fração com representação de dízima periódica.
3ª ) Se π é a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência, por que não é racional?
Arquimedes, por volta de 280 A.C., encontrou a aproximação, bem razoável de π
Ele fez políginos regulares inscritos e circunscritos na circunferência,calculou o perímetro das circunferências, tendo o raio e afirmou que o perímetro do triangulo dividido pelo diâmetro da circunferência é menor do que o perímetro da circunferência dividido pelo diâmetro dela. Porém, o diâmetro da circunferência circunscrita do círculo, dividida pelo diâmetro do círculo é maior que o perímetro da circunferência pelo diâmetro dela. Então o valor de π está entre os dois valores, valores grosseiros, mas Arquimedes fez com polígonos regulares de até 97 lados, chegando ao valor de π com até 3 casas decimais.
Folha A4 210mm X 297mm ou 21,0cm X 29,7cm
Verificando as medidas da folha A4, até a 4ª casa decimal é . Portanto atende essa característica de ser papel que quando dobrado ao meio gera um retangulo semelhante ao original.
Proporção áurea, razão áurea,proporção dourada, número de ouro é um número irracional infinitas casas periódicas depois da vírgula, com inúmeras aplicações na sua proporção é
Arquimedes, por volta de 280 A.C., encontrou a aproximação, bem razoável de π
Ele fez políginos regulares inscritos e circunscritos na circunferência,calculou o perímetro das circunferências, tendo o raio e afirmou que o perímetro do triangulo dividido pelo diâmetro da circunferência é menor do que o perímetro da circunferência dividido pelo diâmetro dela. Porém, o diâmetro da circunferência circunscrita do círculo, dividida pelo diâmetro do círculo é maior que o perímetro da circunferência pelo diâmetro dela. Então o valor de π está entre os dois valores, valores grosseiros, mas Arquimedes fez com polígonos regulares de até 97 lados, chegando ao valor de π com até 3 casas decimais.
Números na arte e na natureza
Folha A4 210mm X 297mm ou 21,0cm X 29,7cm
Verificando as medidas da folha A4, até a 4ª casa decimal é . Portanto atende essa característica de ser papel que quando dobrado ao meio gera um retangulo semelhante ao original.
Proporção áurea, razão áurea,proporção dourada, número de ouro é um número irracional infinitas casas periódicas depois da vírgula, com inúmeras aplicações na sua proporção é
A sequência de Fibonacci produz aproximações da razão áurea $\varphi $ = 1,6180...
Sequência de Fibonacci - a partir do 3º termo, cada número é obtido pela soma dos 2 anteriores.
1
1
2 1 +1
3 2 +1
5 3 + 2
8 5 +3
13 8 + 5
21 13 +8
34 21+13
55 34+21
89 55+34
144 89+55
232 144+89
Se pegarmos os números da sequência de Fibonacci a partir do 2º número e dividimos pela própria sequência a partir do 1º vamos ter valores que convergem para 1,6180 ou seja o número de ouro. fi
O mais curioso é que algumas plantas e árvores crescem de acordo com a sequência de Fibonacci.
Escreva um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel da Matemática na compreensão da realidade.
A matemática está presente na vida e no cotidiano de todas as pessoas, desde o momento do nascimento até da morte, como estatística.
Para tudo necessitamos da matemática, exemplo:
Para o cafezinho da manhã, precisamos fazer uma proporção água/café, se formos a uma padaria precisamos pagar e receber o troco, estamos usando álgebra.
Na hora do almoço, os retaurantes self servece é servido por quilograma, unidade de medida.
A noite vamos para academia, queimar umas quilocalorias outra unidade de medida, prestando atenção na contagem dos exercícios e sempre de observando a pontuação da dieta.
Mesmo sem perceber, estamos sempre usando a matemática.
.
Texto A
Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras representando valores desconhecidos, ou incógnitas, podem transformar perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática. Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem na outra sugeridos a seguir.
1. Usando letras para representar números, represente na linguagem matemática:
2. As sentenças a seguir representam perguntas. Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo incógnitas:
3. Traduza cada sentença como um sistema de equações:
$$722=2 \cdot 19^{2}$$
$$713=3 \cdot 241$$
$$724=2^{2} \cdot 181$$
$$725=5^{2} \cdot 29$$
$$726=2 \cdot 3 \cdot 11^{2}$$
Essa é uma sequência de 5 números positivos consecutivos e não contém números primos, por todos serem números compostos.
2) Revendo a definição de retângulo áureo (ou retângulo de ouro) dada na vídeo aula, determine o valor de x no retângulo indicado abaixo para que ele seja áureo.
\begin{equation*}
\varphi =\frac{x}{8}\\
1,618 \cdots=\frac{x}{8}\\
x=8 \cdot 1,618 \cdots\\
x\cong 12,944 cm
\end{equation*}
Atividades
Aula 1 e 2
A matemática está presente na vida e no cotidiano de todas as pessoas, desde o momento do nascimento até da morte, como estatística.
Para tudo necessitamos da matemática, exemplo:
Para o cafezinho da manhã, precisamos fazer uma proporção água/café, se formos a uma padaria precisamos pagar e receber o troco, estamos usando álgebra.
Na hora do almoço, os retaurantes self servece é servido por quilograma, unidade de medida.
A noite vamos para academia, queimar umas quilocalorias outra unidade de medida, prestando atenção na contagem dos exercícios e sempre de observando a pontuação da dieta.
Mesmo sem perceber, estamos sempre usando a matemática.
.
Texto A
Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras representando valores desconhecidos, ou incógnitas, podem transformar perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática. Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem na outra sugeridos a seguir.
1. Usando letras para representar números, represente na linguagem matemática:
a) A soma de dois números é 17”
$$x+y=17$$
b) “Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu triplo, dá igual a 10”
$$x^{2}+3x=10$$
c) “A soma de três números naturais consecutivos é igual a 20”
$$x+\left ( x+1 \right )+\left ( x+2 \right )=20$$
d) “A soma dos quadrados de três números é menor do que 37”
$$x^{2}+y^{2}+z^{2}<37$$
e) “A média aritmética de dois números é menor ou igual a sua média geométrica”
$$\frac{x+2}{2}\leq \sqrt{xy}$$
f) “Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”
$$a^{2}+b^{2}=h^{2}$$
a) “Qual o número que multiplicado por 7 dá 91?”
\begin{matrix}
7x & = & 91\\
x & = & \frac{91}{7}\\
x & = & 13
\end{matrix}
7x & = & 91\\
x & = & \frac{91}{7}\\
x & = & 13
\end{matrix}
b) “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dá 27”
\begin{equation*}
x+(x+1) = 27\\
2x+1 = 27\\
2x=26\\
x=13
\end{equation*}O primeiro número é $x=13$ e o segundo é:
$$x+1 = 13 + 1 = 14$$
Um número é 13 e o consecutivo 14
\begin{equation*}
x+(x+1) = 27\\
2x+1 = 27\\
2x=26\\
x=13
\end{equation*}O primeiro número é $x=13$ e o segundo é:
$$x+1 = 13 + 1 = 14$$
Um número é 13 e o consecutivo 14
c) “Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado com 15 resulte em 140”
\begin{equation*}
x^{3}+15=140\\
x^{3}=125\\
x=\sqrt[3]{125}\\
x=5
\end{equation*}
\begin{equation*}
x^{3}+15=140\\
x^{3}=125\\
x=\sqrt[3]{125}\\
x=5
\end{equation*}
d) “Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do que 2”
\begin{equation*}
x+\frac{1}{x}> 2\\
\frac{x²+1}{x}>2\\
\\x^{2}+1> 2x
\end{equation*}
\begin{equation*}
x+\frac{1}{x}> 2\\
\frac{x²+1}{x}>2\\
\\x^{2}+1> 2x
\end{equation*}
3. Traduza cada sentença como um sistema de equações:
a) “Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja 14”
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &= &15 \\
x& \cdot &y &= &14
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
x + y = 15 \Rightarrow x=15-y
\end{equation*}
Substituindo na segunda equação:
\begin{equation*}
(15-y)y=14\\
15y-y^2=14\\
y^2-15y+14=0
\end{equation*}
Agora aplicamos a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
y=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
y=\frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2-4\cdot 14}}{2}\\
y=\frac{15 \pm \sqrt{225 - 56}}{2}\\
y=\frac{15 \pm \sqrt{ 169}}{2}\\
y=\frac{15 \pm 13}{2}\\
y_1 = \frac{15+13}{2}=14\\
y_2 = \frac{15-13}{2}=1
\end{equation*}
Teremos duas soluções: a primeira solução usando $y_1$ e a segunda usando $y_2$.
Para $y_1$ fazemos:
\begin{equation*}
x + y_1 = 15\\
x + 14 = 15\\
x= 1
\end{equation*}
Para $y_2$ fazemos:
\begin{equation*}
x + y_2 = 15\\
x + 1= 15\\
x= 14
\end{equation*}
As duas respostas nos levam ao mesmo par de números, obtendo assim apenas uma resposta: os números procurados são 1 e 14.
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &= &15 \\
x& \cdot &y &= &14
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
x + y = 15 \Rightarrow x=15-y
\end{equation*}
Substituindo na segunda equação:
\begin{equation*}
(15-y)y=14\\
15y-y^2=14\\
y^2-15y+14=0
\end{equation*}
Agora aplicamos a fórmula de Bháskara:
\begin{equation*}
y=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
y=\frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2-4\cdot 14}}{2}\\
y=\frac{15 \pm \sqrt{225 - 56}}{2}\\
y=\frac{15 \pm \sqrt{ 169}}{2}\\
y=\frac{15 \pm 13}{2}\\
y_1 = \frac{15+13}{2}=14\\
y_2 = \frac{15-13}{2}=1
\end{equation*}
Teremos duas soluções: a primeira solução usando $y_1$ e a segunda usando $y_2$.
Para $y_1$ fazemos:
\begin{equation*}
x + y_1 = 15\\
x + 14 = 15\\
x= 1
\end{equation*}
Para $y_2$ fazemos:
\begin{equation*}
x + y_2 = 15\\
x + 1= 15\\
x= 14
\end{equation*}
As duas respostas nos levam ao mesmo par de números, obtendo assim apenas uma resposta: os números procurados são 1 e 14.
b) “Determinar um número que somado com 3 dá mais do que sete, e que, multiplicado por 4, dá menos que 32”.
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x &+ & 3 & > & 7 \\
x& \cdot & 4 & < &32
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Primeiro devemos encontrar a solução de cada inequação.
Para a primeira inequação, temos:
\begin{equation*}
x + 3 > 7\\
x > 4
\end{equation*}
Para a segunda inequação, temos:
\begin{equation*}
4x < 32\\
x< 8
\end{equation*}
Para encontrarmos o conjunto solução do sistema de inequações, devemos encontrar os valores de $x$ que satisfaçam as duas inequações:
A solução do sistema é a intersecção das soluções de cada inequação. Assim, $x$ deve ser maior que 4 e menor do que 8:
$$S=\left\{x \in \mathbb{R}:4 < x < 8 \right\}$$
\left\{\begin{matrix}
x &+ & 3 & > & 7 \\
x& \cdot & 4 & < &32
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Primeiro devemos encontrar a solução de cada inequação.
Para a primeira inequação, temos:
\begin{equation*}
x + 3 > 7\\
x > 4
\end{equation*}
Para a segunda inequação, temos:
\begin{equation*}
4x < 32\\
x< 8
\end{equation*}
Para encontrarmos o conjunto solução do sistema de inequações, devemos encontrar os valores de $x$ que satisfaçam as duas inequações:
$$S=\left\{x \in \mathbb{R}:4 < x < 8 \right\}$$
c) Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que multiplicado por 7 dá menos do que 42”.
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x^3 & > & 36 \\
7x & < & 42
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Primeiro devemos encontrar a solução de cada inequação.
Para a primeira inequação, temos:
\begin{equation*}
x^3 > 36\\
x > \sqrt[3]{36} \cong 3,3
\end{equation*}
Para a segunda inequação, temos:
\begin{equation*}
7x < 42\\
x < 6
\end{equation*}
Para encontrarmos o conjunto solução do sistema de inequações, devemos encontrar os valores de $x$ que satisfaçam as duas inequações:
A solução do sistema é a intersecção das soluções de cada inequação. Assim, $x$ deve ser maior que 4 e menor do que 8:
$$S=\left\{x \in \mathbb{R}: \sqrt[3]{36} < x < 6 \right\}$$
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
x^3 & > & 36 \\
7x & < & 42
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Primeiro devemos encontrar a solução de cada inequação.
Para a primeira inequação, temos:
\begin{equation*}
x^3 > 36\\
x > \sqrt[3]{36} \cong 3,3
\end{equation*}
Para a segunda inequação, temos:
\begin{equation*}
7x < 42\\
x < 6
\end{equation*}
Para encontrarmos o conjunto solução do sistema de inequações, devemos encontrar os valores de $x$ que satisfaçam as duas inequações:
$$S=\left\{x \in \mathbb{R}: \sqrt[3]{36} < x < 6 \right\}$$
4. Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças matemáticas:
a) $x – 3 = 21$
Encontrar um número que subtraindo 3 é igual a 21
Encontrar um número que subtraindo 3 é igual a 21
b) $3x = 45$
Encontrar um número cujo triplo é igual a 45
Encontrar um número cujo triplo é igual a 45
c) $x^{2} < 4$
Qual o número que elevado ao quadrado é menor que 4
d) $x^{2}+5x-15=0$
O quadrado de um número somado ao seu quíntuplo e menos 15 é igual a 0
Qual o número que elevado ao quadrado é menor que 4
d) $x^{2}+5x-15=0$
O quadrado de um número somado ao seu quíntuplo e menos 15 é igual a 0
Aula 3 e 4
Leia o texto abaixo e, em seguida, responda as quatro perguntas a seguir.
Para sua investigação, use, se necessário, o aplicativo disponível em http://pt.numberempire.com/numberfactorizer.php que permite obter a fatoração de números inteiros. Bom trabalho.Como você viu na vídeoaula, existem infinitos números primos, o que está demonstrado desde os tempos de Euclides, matemático que viveu por volta de 300 a.C. Um fato curioso que também pode ser demonstrado de maneira simples é o de que é possível produzir “desertos de números primos” de um tamanho arbitrário qualquer. Com “desertos de números primos” estamos querendo dizer uma sequência, de tamanho arbitrário qualquer, de inteiros consecutivos de forma que nessa sequência não haja números primos. Por exemplo, se estamos interessados em uma sequência de cinco inteiros consecutivos de forma que nela não haja números primos, basta exibir a sequência 24, 25, 26, 27 e 28. Observe que 24, 26 e 28 são números pares e, portanto, não são primos (o único número par que é primo é o 2), 25 é divisível por 5 (além de 1 e 25), e 27 por 3 e 9 (além de 1 e 27)
1) A sequência exibida no texto não é a única que atende à condição do problema; existem infinitas outras. Verifique que a sequência 722, 723, 724, 725 e 726, de cinco inteiros positivos consecutivos, também não contém números primos. Exiba todos os divisores positivos de cada um dos números dessa sequência..
$$722=2 \cdot 19^{2}$$
$$713=3 \cdot 241$$
$$724=2^{2} \cdot 181$$
$$725=5^{2} \cdot 29$$
$$726=2 \cdot 3 \cdot 11^{2}$$
Essa é uma sequência de 5 números positivos consecutivos e não contém números primos, por todos serem números compostos.
2) Revendo a definição de retângulo áureo (ou retângulo de ouro) dada na vídeo aula, determine o valor de x no retângulo indicado abaixo para que ele seja áureo.
\begin{equation*}
\varphi =\frac{x}{8}\\
1,618 \cdots=\frac{x}{8}\\
x=8 \cdot 1,618 \cdots\\
x\cong 12,944 cm
\end{equation*}
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