Matemática-2ª Semana

Matemática-2ª Semana

Geometria: medidas, áreas, volume

Profº Me. Roberto Perides Moisés

Geo - terra  metria - medida

geometria - medida da terra

Prisma - Pris(grego) - serrar

Princípio de cavaliere - Consiste em estabelecer que 2 sólidos com a mesma altura tem volumes iguais se as secções planas de iguais altura, possuírem a mesma área.

Geometria: medidas, áreas,volumes (II)

Uma Introdução(I)

Profº. Drº. Nílson José Machado

Álgebra: Números e letras de mãos dadas

Uma introdução (II)

Profº. Drº. Nílson José Machado

A fatoração transforma uma equação de 2º grau em 2 de primeiro.

A fatoração é um recurso por excelência

Atividades 

Aulas 5 e 6

Exercício 1 

Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado, apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado de sua resolução. 

A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2)

Aplicação:

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia atualmente), morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes. 

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente.

Principais filósofos da Escola Pitagórica:

- Filolau de Crotona
- Temistocleia
- Arquitas de Tarento
- Alcmeão de Crotona
- Melissa

Teorema de Pitágoras é atribuído ao triângulo retângulo, onde ele relaciona os catetos e a hipotenusa através da seguinte informação "A somado quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa".

Exercício 2

As embalagens dos produtos tornaram-se um tema social relevante, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente. Além do tipo de material com que são fabricadas, as embalagens devem ser bem dimensionadas, isto é, ela deve ter a melhor relação volume interno/quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, seja menor espaço entre elas. O homem encontrou uma situação similar a esta na natureza: a construção dos alvéolos das abelhas.

Observando essa forma prismática dos alvéolos percebeu que estes respeitam uma exigência: a de permitir que com uma mesma quantidade de cera se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato das paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema

da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal, como apresentados na figura.

Considere que você possui uma folha de papel com dimensões 12 cm x 36 cm que servirá como superfície lateral de um prisma e que esse prisma deverá possuir o maior volume possível. Antes da confecção do prisma você deve fazer um projeto e calcular a soma das possibilidades da base; triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular. 

Ao fim do projeto preencha a tabela abaixo e justifique o modelo adotado. Considera por base a maior dimensão do papel.

Triângulo: Dividindo o triângulo equilátero ao meio, obtemos 1 triângulo retângulo,aplicamos o teorema de Pitágoras para achar a altura e para encontrar a área usamos base vezes altura dividido por 2

$$A=\frac{b.h}{2}$$

$$12^{2}=h^{2}+6^{2}$$

$$h^{2}=144-36$$

$$h=\sqrt{108}$$

$$h=\sqrt{2^{2}.3^{2}.3}$$

$$h=2.3.\sqrt{3}$$

$$h=6\sqrt{3}$$

Juntando os dois triângulos de área $6\sqrt{3}$, temos a área total $36\sqrt{3}$ . Para acharmos o volume e só calcular a área da base pela altura.

$$v=ab.h$$

$$v=36\sqrt{6}.12$$

$$v\cong 748,25$$

Quadrado:Área do quadrado: lado ao quadrado

$$A=l^{2}$$

$$a=9^{2}$$

$$a=81$$

Volume do quadrado: área da base .altura

$$v=ab.h$$

$$v=81.12$$

$$v=972$$

Hexágono: Dividimos o hexágono em 6 triângulos equilátero para encontrar a área, primeiro encontra-se a altura com Pitágoras e depois a área.

$$h^{2}=36-9$$

$$h^{2}=27$$

$$h=\sqrt{27}$$

$$h=\sqrt{3^{2}.3}$$

$$h=3\sqrt{3}$$

Área:Para encontrarmos a área do hexágono, multiplicamos por 6

$$a=6.9\sqrt{3}$$

$$a=54\sqrt{3}$$

Volume do hexágono: área da base.altura

$$v=54\sqrt{3}.12$$

$$\cong 1122,37$$

Como a área da base do prisma hexagonal é maior do que as áreas das bases dos prismas triangular e quadrado e pelos três prismas possuírem as mesma altura, conclui-se que o prisma hexagonal possui maior volume, visto que para todos os prismas vale a relação:

v=ab.h

Exercícios

Aulas 7 e 8

1. Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada e acompanhe passo a passo para entender como ela surge. Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).

http://www.somatematica.com.br/

Resolução de equações completas     Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.     A partir da equação , em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. 2º passo: passar 4ac par o 2º membro. 3º passo: adicionar aos dois membros. 4º passo: fatorar o 1º elemento. 5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. 6º passo: passar b para o 2º membro. 7º passo: dividir os dois membros por .    Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:     Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

2. Resolva as equações abaixo, fatorando o trinômio do primeiro membro, como nos exemplos no texto B:

a. $x^2 – 4x + 4 = 0$ 

Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 4:
$$1 \cdot 4 =4$$

$$ 2 \cdot 2=4$$

$$-1 \cdot (-4)=4$$

$$-2 \cdot (-2)=4$$

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê $-4$. Concluímos que $-2 +(-2)=-4$, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

$$(x-2)(x-2)=0$$

ou

$$(x-2)^2=0$$

b. $36 – 12x + x^2$
$$(x-6)(x-6)=0$$
$$(x-6)^2=0$$

c. $5x^2 + 10x + 5 = 0$
$$5\left(x^2+2x+1\right)=0$$
$$5\left(x+1\right)\left(x+1\right)=0$$
$$5\left(x+1\right)^2=0$$

d. $x^2 – 10x + 25 = 16$
$$x^2-10+9=0$$
$$\left(x-9\right)\left(x-1\right)=0$$


e.$ x^ + 14x + 49 = 25$
$$x^2+14+24=0$$
$$\left(x+2\right)\left(x+12\right)=0$$

f. $x^2 – 4x + 4 = 0$
Idem ao exercício A

g.$ x^2 – 4x +1 = 0$
Já está na fórmula fatorada

h. $3x^2 + 18x + 27 = 0$
$$3\left(x^2+6x+9\right)=0$$
$$3\left(x+3\right)\left(x+3\right)+0$$
$$3\left(x+3\right)^2=0$$

i. $3x^2 – 18x + 18 = 0$

Já está na fórmula fatorada