Matemática-4ª Semana
Médias para todos os fins(I)
Profº. Drº. José Luiz Pastore Mello
Demonstração:
0\le \left(\sqrt[2]{x}-\sqrt[2]{y}\right)
0\le x^2-2\sqrt[2]{xy}+y
\sqrt[2]{xy}\le \frac{x+y}{2}
A média geométrica é sempre menor que a aritmética.
\left(\sqrt{\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\ge 0
\frac{1}{x}-\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{y}\ge 0
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}}
\sqrt{xy}\ge \frac{2xy}{x+y}
A média geométrica sempre é maior ou igual a média harmônica.
Desenvolvendo:
v=\frac{d}{t}
t=\frac{d}{v}
v=\frac{2d}{\frac{d}{v1}+\frac{d}{v2}}=\frac{2}{\frac{1}{v1}+\frac{1}{v2}}=\frac{2v1.v2}{v1+v2}
\frac{2.100.80}{100+8}\cong 88\:kmh
Médias para todos os fins(II)
Profº. Drº. José Luiz Pastore MelloProbabilidades e Estatística: noções iniciais, contagem direta e indireta, curva normal (I)
Profº. Drº. Walter Spinelli
Variáveis
Qualitativas:
- Ordinais: ex. nível e escolaridade;
- Nominais: ex. time de preferência
Quantitativas:
- Discretas: associadas normalmente a processos de contagem - filhos, bens...
- Contínuas: associadas normalmente a processos de medição - altura,massa,temperatura.
Gráficos Qualitativos são mais frequentes barras ou setores
Gráficos quantitativos
Mais comum usar gráfico histograma
ou frequência acumulada
Medidas de tendência central (variável contínua e discreta)
VM.F
\frac{9,5.6+8,5.8+...}{100}=5,7
mediana
1 14 x=\cong 5,8
x 2
Moda é a mais frequente =6,5
Medidas de dispersão:
Probabilidades e Estatística: noções iniciais, contagem direta e indireta, curva normal (II)
Profº. Drº. Walter Spinelli
Amostras - alguns tipos
- casual simples;
- sistemática;
- acidental;
- estratificada
\sigma - sigma é a marca do desvio padrão
Tabela de porcentuais de desvio padrão:
Probabilidades e curva normal
Exemplo:
- Variável: estaturas
- média: 1,70m
- desvio padrão: 0,11m
Qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com estatura entre 1,55m e 1,80m?
Atividades
Aula 13
4. Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3h, 4h e 6h, respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo elas levarão para encher o tanque?
\begin{equation*} \frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\\ \frac{1}{T} = \frac{4 + 3 + 2}{12}\\ \frac{1}{T} = \frac{9}{12}\\ T = \frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ T = 1 + \frac{1}{3}\\ T = 1h20min \end{equation*}
4. Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3h, 4h e 6h, respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo elas levarão para encher o tanque?
\begin{equation*} \frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\\ \frac{1}{T} = \frac{4 + 3 + 2}{12}\\ \frac{1}{T} = \frac{9}{12}\\ T = \frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ T = 1 + \frac{1}{3}\\ T = 1h20min \end{equation*}
aula 14
1. Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?
As médias serão iguais:1. Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?
Média aritmética:
\begin{equation*} M_a = \frac{x + x}{2} = \frac{2x}{2} = x \end{equation*}
Média geométrica:
\begin{equation*} M_g = \sqrt[2]{x\cdot x}=\sqrt{x^2} = x \end{equation*}
Média harmônica:
\begin{equation*} M_h = \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{2}{\displaystyle \frac{2}{x}} = 2\cdot \frac{x}{2} = x \end{equation*}
Média quadrática:
\begin{equation*} M_q = \sqrt{\frac{x^2 + x^2}{2}}= \sqrt{\frac{2x^2}{2}} = \sqrt{x^2} = x \end{equation*}
Aula 15
1. Determine a média, a moda e a mediana da seguinte distribuição de frequências:
Observação: Os símbolos “[“ e “]” são utilizados para representar os limites de um intervalo real. Por exemplo, em [2,8[ temos um intervalo “fechado” em 2 e “aberto” em 8, ou seja, 2 é um valor que pertence ao intervalo e 8 não pertence.
Média:
(4 X 5 + 11 X 6 + 17 X 8 + 23 X 6)/24 = 360/24 = 15
Moda:
(14 + 20)/2 = 34/2 = 17
Mediana:
24/2 = 12
2/24 = 1/12 = 0,08
0,08 + 14 = 14,08
Aula 16
3. Se a média aritmética das alturas das pessoas de uma amostra representativa é igual a 1,60 m, com desvio padrão de 0,20 m, qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com altura entre:
3. Se a média aritmética das alturas das pessoas de uma amostra representativa é igual a 1,60 m, com desvio padrão de 0,20 m, qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com altura entre:
a. 1,60 m e 1,75 m?
1,75 -1,60= 0,15
0,15\div 0,20=0,75
olhando na tabela de desvio \sigma
27,34\%
b. entre 1,75 m e 1,85 m?
1,85-1,75=0,10
0,10\div0,20
19,15\%
c. 1,50 m e 1,65 m?
1,65-1,50=0,15
0,16\div0,20=0,75
27,34\%
0,16\div0,20=0,75
27,34\%
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