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sábado, 22 de novembro de 2014

Matemática-4ª Semana

Matemática-4ª Semana


Médias para todos os fins(I)
Profº. Drº. José Luiz Pastore Mello





Demonstração:

0\le \left(\sqrt[2]{x}-\sqrt[2]{y}\right)

0\le x^2-2\sqrt[2]{xy}+y

\sqrt[2]{xy}\le \frac{x+y}{2}


A média geométrica é sempre menor que a aritmética.

\left(\sqrt{\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\ge 0

\frac{1}{x}-\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{y}\ge 0

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}}

\sqrt{xy}\ge \frac{2xy}{x+y}


A média geométrica sempre é maior ou igual a média harmônica.





Desenvolvendo:

v=\frac{d}{t}              
t=\frac{d}{v}

v=\frac{2d}{\frac{d}{v1}+\frac{d}{v2}}=\frac{2}{\frac{1}{v1}+\frac{1}{v2}}=\frac{2v1.v2}{v1+v2}

\frac{2.100.80}{100+8}\cong 88\:kmh




Médias para todos os fins(II)

Profº. Drº. José Luiz Pastore Mello












 Probabilidades e Estatística: noções iniciais, contagem direta e indireta, curva normal (I)

Profº. Drº. Walter Spinelli

Variáveis
Qualitativas:
  • Ordinais: ex. nível e escolaridade;
  • Nominais: ex. time de preferência
Quantitativas:
  • Discretas: associadas normalmente a processos de contagem - filhos, bens...
  • Contínuas: associadas normalmente a processos de medição - altura,massa,temperatura.
Gráficos Qualitativos são mais frequentes barras ou setores

Gráficos quantitativos


Mais comum usar gráfico  histograma



ou frequência acumulada

Medidas de tendência central (variável contínua e discreta)
  • média aritmética
  • mediana
  • moda

VM.F
\frac{9,5.6+8,5.8+...}{100}=5,7

mediana

1          14           x=\cong 5,8
x           2

Moda é a mais frequente   =6,5

Medidas de dispersão:
  • amplitude
  • desvio de padrão

 Probabilidades e Estatística: noções iniciais, contagem direta e indireta, curva normal (II)



Profº. Drº. Walter Spinelli

Amostras - alguns tipos
  • casual simples;
  • sistemática;
  • acidental;
  • estratificada
\sigma  - sigma é a marca do desvio padrão
Tabela de porcentuais de desvio padrão:
Probabilidades e curva normal
Exemplo:
  • Variável: estaturas
  • média: 1,70m
  • desvio padrão: 0,11m
Qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com estatura entre 1,55m e 1,80m?







Atividades


Aula 13

4. Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3h, 4h e 6h, respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo elas levarão para encher o tanque?
\begin{equation*} \frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\\ \frac{1}{T} = \frac{4 + 3 + 2}{12}\\ \frac{1}{T} = \frac{9}{12}\\ T = \frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ T = 1 + \frac{1}{3}\\ T = 1h20min \end{equation*}


aula 14

1. Se x e y são números reais positivos tais que x=y, o que ocorre com a ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?
As médias serão iguais:

Média aritmética:
\begin{equation*} M_a = \frac{x + x}{2} = \frac{2x}{2} = x \end{equation*}


Média geométrica:
\begin{equation*} M_g = \sqrt[2]{x\cdot x}=\sqrt{x^2} = x \end{equation*}


Média harmônica:
\begin{equation*} M_h = \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{2}{\displaystyle \frac{2}{x}} = 2\cdot \frac{x}{2} = x \end{equation*}


Média quadrática:
\begin{equation*} M_q = \sqrt{\frac{x^2 + x^2}{2}}= \sqrt{\frac{2x^2}{2}} = \sqrt{x^2} = x \end{equation*}


Aula 15

1. Determine a média, a moda e a mediana da seguinte distribuição de frequências:



Observação: Os símbolos “[“ e “]” são utilizados para representar os limites de um intervalo real. Por exemplo, em [2,8[ temos um intervalo “fechado” em 2 e “aberto” em 8, ou seja, 2 é um valor que pertence ao intervalo e 8 não pertence.

Média:

(4 X 5 + 11 X 6 + 17 X 8 + 23 X 6)/24 = 360/24 = 15

Moda:

(14 + 20)/2 = 34/2 = 17

Mediana:

24/2 = 12
2/24 = 1/12 = 0,08
0,08 + 14 = 14,08


Aula 16

3.  Se a média aritmética das alturas das pessoas de uma amostra representativa é igual a 1,60 m, com desvio padrão de 0,20 m, qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com altura entre:

a.  1,60 m e 1,75 m?
1,75 -1,60= 0,15

0,15\div 0,20=0,75

olhando na tabela de desvio \sigma
27,34\%



b.  entre 1,75 m e 1,85 m?
1,85-1,75=0,10

0,10\div0,20

19,15\%


c.  1,50 m e 1,65 m?
1,65-1,50=0,15

0,16\div0,20=0,75

27,34\%

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