Matemática-4ª Semana

Matemática-4ª Semana

Médias para todos os fins(I)
Profº. Drº. José Luiz Pastore Mello

Demonstração:

$$0\le \left(\sqrt[2]{x}-\sqrt[2]{y}\right)$$
$$0\le x^2-2\sqrt[2]{xy}+y$$
$$\sqrt[2]{xy}\le \frac{x+y}{2}$$

A média geométrica é sempre menor que a aritmética.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{x}}-\sqrt{\frac{1}{y}}\right)\ge 0$$
$$\frac{1}{x}-\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{y}\ge 0$$
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}}$$
$$\sqrt{xy}\ge \frac{2xy}{x+y}$$

A média geométrica sempre é maior ou igual a média harmônica.

Desenvolvendo:

$v=\frac{d}{t}$              
$t=\frac{d}{v}$

$$v=\frac{2d}{\frac{d}{v1}+\frac{d}{v2}}=\frac{2}{\frac{1}{v1}+\frac{1}{v2}}=\frac{2v1.v2}{v1+v2}$$
$$\frac{2.100.80}{100+8}\cong 88\:kmh$$

Médias para todos os fins(II)

Profº. Drº. José Luiz Pastore Mello

 Probabilidades e Estatística: noções iniciais, contagem direta e indireta, curva normal (I)

Profº. Drº. Walter Spinelli

Variáveis

Qualitativas:

• Ordinais: ex. nível e escolaridade;
• Nominais: ex. time de preferência

Quantitativas:

• Discretas: associadas normalmente a processos de contagem - filhos, bens...
• Contínuas: associadas normalmente a processos de medição - altura,massa,temperatura.

Gráficos Qualitativos são mais frequentes barras ou setores

Gráficos quantitativos

Mais comum usar gráfico  histograma

ou frequência acumulada

Medidas de tendência central (variável contínua e discreta)

• média aritmética
• mediana
• moda

VM.F

$\frac{9,5.6+8,5.8+...}{100}=5,7$

mediana

1          14           x=$\cong 5,8$

x           2

Moda é a mais frequente   =6,5

Medidas de dispersão:

• amplitude
• desvio de padrão

 Probabilidades e Estatística: noções iniciais, contagem direta e indireta, curva normal (II)

Profº. Drº. Walter Spinelli

Amostras - alguns tipos

• casual simples;
• sistemática;
• acidental;
• estratificada

$\sigma $  - sigma é a marca do desvio padrão

Tabela de porcentuais de desvio padrão:

Probabilidades e curva normal

Exemplo:

• Variável: estaturas
• média: 1,70m
• desvio padrão: 0,11m

Qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com estatura entre 1,55m e 1,80m?

Atividades

Aula 13

4. Três torneiras ligadas sozinhas enchem um tanque em 3h, 4h e 6h, respectivamente. Ligando as três torneiras simultaneamente, quanto tempo elas levarão para encher o tanque?
\begin{equation*}
\frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\\
\frac{1}{T} = \frac{4 + 3 + 2}{12}\\
\frac{1}{T} = \frac{9}{12}\\
T = \frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\
T = 1 + \frac{1}{3}\\
T = 1h20min
\end{equation*}

aula 14

1. Se $x$ e $y$ são números reais positivos tais que $x=y$, o que ocorre com a ordenação entre as médias aritmética, geométrica, harmônica e quadrática?

As médias serão iguais:

Média aritmética:
\begin{equation*}
M_a = \frac{x + x}{2} = \frac{2x}{2} = x
\end{equation*}

Média geométrica:
\begin{equation*}
M_g = \sqrt[2]{x\cdot x}=\sqrt{x^2} = x
\end{equation*}

Média harmônica:
\begin{equation*}
M_h = \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{2}{\displaystyle \frac{2}{x}} = 2\cdot \frac{x}{2} = x
\end{equation*}

Média quadrática:
\begin{equation*}
M_q = \sqrt{\frac{x^2 + x^2}{2}}= \sqrt{\frac{2x^2}{2}} = \sqrt{x^2} = x
\end{equation*}

Aula 15

1. Determine a média, a moda e a mediana da seguinte distribuição de frequências:

Observação: Os símbolos “[“ e “]” são utilizados para representar os limites de um intervalo real. Por exemplo, em $[2,8[$ temos um intervalo “fechado” em $2$ e “aberto” em $8$, ou seja, $2$ é um valor que pertence ao intervalo e $8$ não pertence.

Média:

(4 X 5 + 11 X 6 + 17 X 8 + 23 X 6)/24 = 360/24 = 15

Moda:

(14 + 20)/2 = 34/2 = 17

Mediana:

24/2 = 12
2/24 = 1/12 = 0,08
0,08 + 14 = 14,08

Aula 16

3.  Se a média aritmética das alturas das pessoas de uma amostra representativa é igual a 1,60 m, com desvio padrão de 0,20 m, qual é a probabilidade de sortearmos uma pessoa com altura entre:

a.  1,60 m e 1,75 m?
$$1,75 -1,60= 0,15$$
$$0,15\div 0,20=0,75$$
olhando na tabela de desvio $\sigma$
$$27,34\%$$


b.  entre 1,75 m e 1,85 m?
$$1,85-1,75=0,10$$
$$0,10\div0,20$$
$$19,15\%$$

c.  1,50 m e 1,65 m?

$$1,65-1,50=0,15$$
$$0,16\div0,20=0,75$$
$$27,34\%$$