Portfólio de Licenciatura em Ciências Naturais e Matemática: Matemática-2ª Semana

Matemática-2ª Semana

Geometria: medidas, áreas, volume

Profº Me. Roberto Perides Moisés

Geo - terra metria - medida

geometria - medida da terra

Prisma - Pris(grego) - serrar

Princípio de cavaliere - Consiste em estabelecer que 2 sólidos com a mesma altura tem volumes iguais se as secções planas de iguais altura, possuírem a mesma área.

Geometria: medidas, áreas,volumes (II)

Uma Introdução(I)

Profº. Drº. Nílson José Machado

Álgebra: Números e letras de mãos dadas

Uma introdução (II)

Profº. Drº. Nílson José Machado

A fatoração transforma uma equação de 2º grau em 2 de primeiro.

A fatoração é um recurso por excelência

Atividades

Aulas 5 e 6

Exercício 1

Faça uma pesquisa sobre o Teorema de Pitágoras. Escreva seu enunciado, apresente e discuta uma demonstração e, ao final, crie um exercício acompanhado de sua resolução.

A pesquisa pode ser feita, por exemplo, no Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (7a Série, 8o Ano, Volume 2)

Aplicação:

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia atualmente), morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente.

Principais filósofos da Escola Pitagórica:

- Filolau de Crotona
- Temistocleia
- Arquitas de Tarento
- Alcmeão de Crotona
- Melissa

Teorema de Pitágoras é atribuído ao triângulo retângulo, onde ele relaciona os catetos e a hipotenusa através da seguinte informação "A somado quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa".

Exercício 2

As embalagens dos produtos tornaram-se um tema social relevante, particularmente quando o assunto é preservação do meio ambiente. Além do tipo de material com que são fabricadas, as embalagens devem ser bem dimensionadas, isto é, ela deve ter a melhor relação volume interno/quantidade de material utilizado. Além disso, na escolha do seu formato, deve-se considerar que, quando embaladas coletivamente, seja menor espaço entre elas. O homem encontrou uma situação similar a esta na natureza: a construção dos alvéolos das abelhas.

Observando essa forma prismática dos alvéolos percebeu que estes respeitam uma exigência: a de permitir que com uma mesma quantidade de cera se construa um recipiente com maior volume para acondicionar o mel. O fato das paredes dos alvéolos serem comuns, permitindo que não haja espaços vazios entre elas, remete-nos ao problema

da pavimentação do plano, solucionado quando usamos triângulos regulares, quadrados e hexágonos regulares. Como a nossa situação é espacial podemos imaginar a “pavimentação do espaço” com poliedros, particularmente com os prismas regulares retos de base triangular, quadrangular e hexagonal, como apresentados na figura.

Considere que você possui uma folha de papel com dimensões 12 cm x 36 cm que servirá como superfície lateral de um prisma e que esse prisma deverá possuir o maior volume possível. Antes da confecção do prisma você deve fazer um projeto e calcular a soma das possibilidades da base; triângulo equilátero, quadrado ou hexágono regular.

Ao fim do projeto preencha a tabela abaixo e justifique o modelo adotado. Considera por base a maior dimensão do papel.

Triângulo: Dividindo o triângulo equilátero ao meio, obtemos 1 triângulo retângulo,aplicamos o teorema de Pitágoras para achar a altura e para encontrar a área usamos base vezes altura dividido por 2

$A=\frac{b.h}{2}$

$12^{2}=h^{2}+6^{2}$

$h^{2}=144-36$

$h=\sqrt{108}$

$h=\sqrt{2^{2}.3^{2}.3}$

$h=2.3.\sqrt{3}$

$h=6\sqrt{3}$

Juntando os dois triângulos de área

$6\sqrt{3}$ , temos a área total

$36\sqrt{3}$ . Para acharmos o volume e só calcular a área da base pela altura.

$v=ab.h$

$v=36\sqrt{6}.12$

$v\cong 748,25$

Quadrado:Área do quadrado: lado ao quadrado

$A=l^{2}$

$a=9^{2}$

$a=81$

Volume do quadrado: área da base .altura

$v=ab.h$

$v=81.12$

$v=972$

Hexágono: Dividimos o hexágono em 6 triângulos equilátero para encontrar a área, primeiro encontra-se a altura com Pitágoras e depois a área.

$h^{2}=36-9$

$h^{2}=27$

$h=\sqrt{27}$

$h=\sqrt{3^{2}.3}$

$h=3\sqrt{3}$

Área:Para encontrarmos a área do hexágono, multiplicamos por 6

$a=6.9\sqrt{3}$

$a=54\sqrt{3}$

Volume do hexágono: área da base.altura

$v=54\sqrt{3}.12$

$\cong 1122,37$

Como a área da base do prisma hexagonal é maior do que as áreas das bases dos prismas triangular e quadrado e pelos três prismas possuírem as mesma altura, conclui-se que o prisma hexagonal possui maior volume, visto que para todos os prismas vale a relação:

v=ab.h

Exercícios

Aulas 7 e 8

1. Procure um livro em que a dedução da fórmula de Bhaskara seja realizada e acompanhe passo a passo para entender como ela surge. Pode ser, por exemplo, o Caderno dos Professores de Matemática da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo (8a Série, 9o Ano, Volume 1, p. 58 a 86).

http://www.somatematica.com.br/

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação