Matemática-3ª Semana
Representações, gráficos, transformações (I)
Profº. Drº. Walter Spinelli
Exemplos de gráficos
A e B - é uma função
C - não é uma função
Eixo das abcissas:
eixo das ordenadas:
K= valor da constante
Exemplos de gráficos
A e B - é uma função
C - não é uma função
Eixo das abcissas:
eixo das ordenadas:
K= valor da constante
Representações, gráficos, transformações (II)
Profº Drº. Walter Spinelli
Função Linear do tipo =ax+b
a= Coeficiente angular tem relação com a inclinação
b= coeficiente linear
Parábulas:
Sequência
Profº. Drº.José Luiz Pastore Mello
Sequência aritmética
a1 + a2 +a3 + a4
3, 7, 11, 14
+ 4 + 4 +4
a1=3
a2= 3+4
a3= a2+4
an= an-1 +4 - fórmula de recorrência
a1= 3
a2= 3+4
a3= 3+2.4 =11
a4= 3+ 3.4 =15
an = 3+(n-1).4
an = 4n-1 - fórmula posicional
Sempre será uma função do 1º grau do tipo Y = ax + b
Amarelo - a partir do próximo mês é fertil
Vermelho - a partir do 2º mês é fertil
Verde - já é fertil
Sequência (II)
Profº Drº. José Luiz Pastore Mello
Séries são somas de sequência com infinitos termos.
Sequências numéricas que é a diferença entre o termo e o anterior é sempre constante é uma sequência aritmética.
Sequência geométrica é quando a divisão, o quociente entre um termo e seu anterior é sempre constante.
A sequência de Grandi é a sequência que tem números alternados.
Sequência harmônica é o inverso dos números naturais.
Sequência decimal
No caso da série geométrica é convergente
Atividades
Aula 9
1) Observe os gráficos desenhados no plano cartesiano. A função f tem equação: f(x) = - 0,5x + 2. Qual é a equação de g?
Analisando o gráfico, vemos que f(x) é uma função linear decrescente, pois o coeficiente de x é negativo e vale -1/2.
O coeficiente de x também é chamado de coeficiente angular da reta, dado por m=-1/2, que representa a inclinação da reta em relação ao eixo dos x.
O termo independente de f(x) é o 2, ou seja, é o termo que não depende de x. Este termo é chamado de coeficiente linear da reta e é o ponto onde a reta corta o eixo dos y.
Na função \displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}x+2, se fizermos x=0, obteremos y=2, que é o ponto onde a reta corta o eixo dos y.
O ponto x por onde a função f(x) corta o eixo dos x também é chamado de zero da função f(x), ou seja, é o valor de x no qual, substituindo em f(x) resulta igual a zero.
Para encontrarmos o zero da função f(x), igualamos a zero encontrando assim a equação:
-\frac{1}{2}x+2=0
Resolvendo essa equação, obtemos x=4.
-\frac{1}{2}x+2=0 \Rightarrow -\frac{1}{2}=-2 \Rightarrow \frac{1}{2}=2 \Rightarrow x=4
Isso confirma que \displaystyle f(4)=-\frac{1}{2}x+2=0.
Agora já podemos encontrar a função g(x), pois já temos o valor de x, onde g(x)=f(x), que é o mesmo zero para as duas funções.
Vemos também que o coeficiente linear de g(x) é -2, que é o oposto do coeficiente linear de f(x), simétricos em relação ao eixo dos x.
Então, g(x) deve ser uma função parecida com:
g(x)=mx-2
Por g(x) ser uma função crescente, logo o coeficiente angular m deve ser positivo.
O coeficiente angular de uma reta é definido como sendo a inclinação da reta, que nada mei é do que a tangente do ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo dos x.
Temos então que:
Assim:
m=\text{tg}(\theta)=\frac{y_b-t_a}{x_b-x_a}=\frac{0-(-2)}{4-0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
Desta forma, o coeficiente angular de g(x) é m=1/2:
g(x)=\frac{1}{2}-2
As funções f(x) e g(x) são simétricas em relação ao eixo dos x. Então, para um mesmo valor de x atribuído às funções f(x) e g(x), obteremos valores de y opostos.
Por exemplo, se atribuirmos valores para x, para as duas funções, obteremos valores opostos. Podemos usar o Excel para obter uma tabela de valores:
Vemos que para f(x), valores menores que x=4 nos fornece y positivos e valores maiores do que x=4, nos fornece y negativos. O oposto ocorre para g(x).
aula 10
Dada a função quadrática g(x) = x^2+ 4x – 3, escreva-a na forma y (x+k)^+p determine as coordenadas do vértice da parábola que representa g(x) no plano cartesiano.
Devemos completar quadrado. Assim:
\begin{equation*} x^2+4x-3=0\\ x^2+4x=3\\ (x^2+4x+Q)=3+Q \end{equation*}Dada a função quadrática g(x) = x^2+ 4x – 3, escreva-a na forma y (x+k)^+p determine as coordenadas do vértice da parábola que representa g(x) no plano cartesiano.
Devemos completar quadrado. Assim:
Q é o quadrado da metade do coeficiente de x. Assim:
\begin{equation*} x^2+4x+4=3+4\\ x^2+4x+4=7\\ (x+2)(x+2)=7\\ (x+2)^2=7 \end{equation*}
Para encontrarmos as coordenadas do vértice da parábola, usamos as fórmulas:
x_V=-\frac{b}{2a} \qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}
x_V=-\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2
y_V = -\frac{4^-4\cdot 1\cdot (-3)}{4\cdot 1}=-\frac{16+12}{4}=-7
As coordenadas do vértice da parábola x^2+4x-3=0 são x_V=-2 e y_V=-7.
Aula 11
1.1. Encontre uma fórmula recursiva e uma fórmula posicional para determinar o número de pontos da n-ésima figura em cada sequência de números figurados indicada a baixo.
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4
a) [desenho]
Fórmula posicional: a_n=n^2
n=1 \rightarrow a_1=1^2=1
n=2 \rightarrow a_2=2^2=4
n=3 \rightarrow a_3=3^2=9
n=4 \rightarrow a_4=4^2=16
Fórmula recursiva: a_n=a_{n-1}+(n-1)+n
n=1 \rightarrow a_1=1
n=2 \rightarrow a_2=a_{2-1}+(2-1)+2=a_1+3=1+3=4
n=3 \rightarrow a_3=a_{3-1}+(3-1)+3=a_2+5=4+5=9
n=4 \rightarrow a_4=a_{4-2}+(4-1)+4=a_3+7=9+7=16
n=4 \rightarrow a_4=a_{4-2}+(4-1)+4=a_3+7=9+7=16
b) [desenho]
Fórmula posicional: a_n=n^2+n^2-n
n=1 \rightarrow a_1=1^2+1^1-1=1
n=2 \rightarrow a_2=2^2+2^2-2=6
n=3 \rightarrow a_3=3^2+3^2-3=15
n=4 \rightarrow a_4=4^2+4^2-4=28
Fórmula recursiva: a_n=n(n+n+1)
n=1 \rightarrow a_1=1(1+0)=1
n=2 \rightarrow a_2=2(2+2-1)=6
n=3 \rightarrow a_3=3(3+3-1)=15
n=4 \rightarrow a_4=4(4+4-1)=28
Aula 12
2. A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 e razão q entre -1 e 1 é dada pela fórmula
s=\frac{a_1}{1-q}
Usando essa informação, determine a fração geratriz das dízimas periódicas indicadas abaixo:
a. 0,7777\cdots
0,777\cdots = \frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\cdots
O termo a_1=7/10 e a razão q=1/10. Assim:
S=\frac{\displaystyle \frac{7}{10}}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=\frac{7}{10}\cdot \frac{10}{9}=\frac{7}{9}
A fração geratriz é dada por:
\frac{7}{9}
b. 0,161616\cdots
0,161616\cdots = \frac{16}{100}+\frac{16}{10000}+\frac{16}{1000000}+\cdots
O termo a_1=16/100 e a razão q=1/100. Assim:
S=\frac{\displaystyle \frac{16}{100}}{1-\displaystyle\frac{1}{100}}=\frac{16}{100}\cdot \frac{100}{99}=\frac{16}{99}
A fração geratriz é dada por:
\frac{16}{99}
c. 0,23333\cdots
0,2333\cdots = \frac{2}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\cdots
O termo a_1=3/100 e a razão q=1/10. Assim:
S=\frac{\displaystyle \frac{3}{100}}{1-\displaystyle\frac{1}{10}}=\frac{3}{100}\cdot \frac{10}{9}=\frac{3}{90}
A fração geratriz é dada por:
\frac{2}{10}+\frac{3}{90}=\frac{18+3}{90}=\frac{21}{90}
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