Matemática - 7ª Semana
Matemática e Física: relação simbiótica (I)
Princípios de modelagem de fenômenos físicos de mecânica, termologia e eletricidade. Tipos de dependência matemática entre variáveis.
Matemática e Física: relação simbiótica (II)
Identificação do tipo de variação apresentada por determinadas grandezas em função do tempo. Exploração dos modelos matemáticos associados a conhecidos fenômenos dos diversos campos da Física. Proposição de abordagens interdisciplinares para tratamento de conceitos da Matemática e da Física.
Matemática e Música (I)
Origens da relação: Quadrivium; O experimento do monocórdio de Pitágoras; harmonia dos sons e a razão entre números inteiros; construção da escala pitagórica (frações de frações). Demonstrações sonoras com violão e metalofone.
Matemática e Música (II)
Som e vibração: a relação entre as divisões da corda e as frequências sonoras. Para além de Pitágoras: o surgimento dos logaritmos e a escala temperada; Construções de instrumentos musicais: uma ideia ao alcance de todos.
Questão 1 - Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea, com velocidades aproximadamente constantes de VA = 30 m/s e VB = 20 m/s.No início da contagem dos tempos o motociclista B encontra-se 70 m à frente do motociclista A.
1ª maneira: proporcionalidade em evidência.
a) A cada segundo, de quantos metros diminui a distância entre os dois motociclistas?
A cada 10 segundos.
b) Em quantos segundos o motociclista A alcançará o motociclista B?
Em 7 segundos o motorista A alcançará o B
c) Quando houver a ultrapassagem, qual distância terá percorrido cada motociclista?
A e B 210 m/s
d) Após 10 segundos, contados a partir do início do movimento, quanto terá percorrido cada motociclista e qual será a distância entre eles?
Aterá percorrido 300m e B 270m.
2ª maneira: olhar funcional
a) Complete a tabela com os valores de posição (S) e tempo (t) de cada motociclista, considerando nula a posição inicial do motociclista A.
b) Desenhe em um único sistema cartesiano os gráficos Sxt dos movimentos dos dois motociclistas.
c) Os gráficos construídos representam qual tipo de função matemática?
Função do 1º grau
d) Escreva a equação matemática correspondente ao gráfico de cada motociclista.
A: x=0 / y=0
B: x=0 / y=x+10
e) Identifique as coordenadas do ponto em que os dois gráficos se cruzam.
Ponto de intersecção: G (210,8)
f) Após 12 s de movimento, qual será a distância entre os dois motociclistas?
A estará a 360m e B 310m
Questão 2 - De acordo com as informações apresentadas durante a aula, com uma fonte
de calor de 10 cal/s é possível aquecer 10 g de água de 20oC para 21oC em 1 segundo. Com essa fonte, quanto tempo será necessário aquecer 500 g de água para que sua temperatura se eleve de:
a) 1 °C?
b) 2 °C?
$$t=\frac{500}{20}=25s$$
c) 8 °C?
1. Vimos que o princípio utilizado na construção da escala pitagórica foi a relação entre os sons consonantes e a divisão da corda do monocórdio em frações de números inteiros simples (1, 2, 3 e 4). As duas principais consonâncias utilizadas na sua construção foram o diapason (ou oitava justa), que é obtida quando dividimos a corda em 1⁄2 do seu comprimento e o diapente (ou quinta justa), que corresponde à divisão da corda em 2/3 de seu comprimento.Em música, uma nota e sua oitava são consideradas notas equivalentes.
Embora diferentes em termos sonoros (grave e agudo), elas recebem o mesmo nome na maior parte das escalas musicais (Dó - Dó; Sol – Sol; etc)Pitágoras usou um ciclo de quintas justas para construir uma escala com 7 notas musicais, com uma amplitude equivalente à uma oitava. Ou seja, as divisões da corda deveriam se localizar entre a metade da corda e seu comprimento total. Assim, toda vez que a fração obtida fosse menor que 1⁄2, era necessário obter uma nota equivalente uma oitava abaixo, dobrando o tamanho dessa fração.
Por exemplo: partindo da corda de comprimento unitário, a primeira divisão corresponde a 2/3 de seu comprimento (um ciclo de quinta justa); a segunda divisão (segundo ciclo de quinta justa) corresponde a 2/3 de 2/3, ou seja, 4/9 do comprimento da corda, que é menor que 1⁄2. Portanto, aplicamos um ciclo de oitava para obter uma nota equivalente mais grave, que corresponde a 8/9 do comprimento inicial. E o processo continua, sempre aplicando ciclos de quintas justas e ciclos de oitavas quando necessário.
Dessa forma, é possível obter as frações correspondentes às notas de uma escala musical compreendidas entre a metade da corda solta e seu comprimento total. Num violão, por exemplo, essas medidas estão marcadas ao longo do braço do instrumento, como mostra a figura:
Com base nessas informações, responda às questões abaixo:
a) Quantos ciclos de quintas e oitavas são necessários para se obter a nota correspondente a 128/243 (ou aproximadamente 52,67%) do comprimento da corda solta?
São necessários 5 ciclos de quinta e 2 ciclos de oitava.
b) Que fração da corda obteremos após 8 ciclos de quinta e 4 de oitava? A que
porcentagem do comprimento da corda essa fração corresponde?
Obteremos 4096/6561=0,62. Aproximadamente 62,42% do comprimento da corda.
c) E após 12 ciclos de quintas e 7 de oitava?
d) Qual dessas frações anteriores mais se aproxima do comprimento inicial da corda?
A que mais se aproximou do comprimento inicial da corda (2/3=0,66) foi: 4096/
6561=0,62 e 512/729=0,70.
Aula 25
Questão 1 - Dois motociclistas A e B percorrem uma mesma pista retilínea, com velocidades aproximadamente constantes de VA = 30 m/s e VB = 20 m/s.No início da contagem dos tempos o motociclista B encontra-se 70 m à frente do motociclista A.
1ª maneira: proporcionalidade em evidência.
a) A cada segundo, de quantos metros diminui a distância entre os dois motociclistas?
A cada 10 segundos.
b) Em quantos segundos o motociclista A alcançará o motociclista B?
Em 7 segundos o motorista A alcançará o B
c) Quando houver a ultrapassagem, qual distância terá percorrido cada motociclista?
A e B 210 m/s
d) Após 10 segundos, contados a partir do início do movimento, quanto terá percorrido cada motociclista e qual será a distância entre eles?
Aterá percorrido 300m e B 270m.
2ª maneira: olhar funcional
a) Complete a tabela com os valores de posição (S) e tempo (t) de cada motociclista, considerando nula a posição inicial do motociclista A.
T(S)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Sa(m)
|
60
|
||||
Sb (m)
|
b) Desenhe em um único sistema cartesiano os gráficos Sxt dos movimentos dos dois motociclistas.
c) Os gráficos construídos representam qual tipo de função matemática?
Função do 1º grau
d) Escreva a equação matemática correspondente ao gráfico de cada motociclista.
A: x=0 / y=0
B: x=0 / y=x+10
e) Identifique as coordenadas do ponto em que os dois gráficos se cruzam.
Ponto de intersecção: G (210,8)
f) Após 12 s de movimento, qual será a distância entre os dois motociclistas?
A estará a 360m e B 310m
Aula 26
de calor de 10 cal/s é possível aquecer 10 g de água de 20oC para 21oC em 1 segundo. Com essa fonte, quanto tempo será necessário aquecer 500 g de água para que sua temperatura se eleve de:
a) 1 °C?
10g----------1s
500g--------t
$$\frac{500}{10}=50s$$b) 2 °C?
10g----------1ºC
x----------2ºC
x=20g
20g------------1s
500g----------t
c) 8 °C?
10g-----------1ºc
x --------------8ºC
x=80g
80g--------------1s
500g------------t
$$t=\frac{500}{80}=6,25s$$
Aula 27
1. Vimos que o princípio utilizado na construção da escala pitagórica foi a relação entre os sons consonantes e a divisão da corda do monocórdio em frações de números inteiros simples (1, 2, 3 e 4). As duas principais consonâncias utilizadas na sua construção foram o diapason (ou oitava justa), que é obtida quando dividimos a corda em 1⁄2 do seu comprimento e o diapente (ou quinta justa), que corresponde à divisão da corda em 2/3 de seu comprimento.Em música, uma nota e sua oitava são consideradas notas equivalentes.
Embora diferentes em termos sonoros (grave e agudo), elas recebem o mesmo nome na maior parte das escalas musicais (Dó - Dó; Sol – Sol; etc)Pitágoras usou um ciclo de quintas justas para construir uma escala com 7 notas musicais, com uma amplitude equivalente à uma oitava. Ou seja, as divisões da corda deveriam se localizar entre a metade da corda e seu comprimento total. Assim, toda vez que a fração obtida fosse menor que 1⁄2, era necessário obter uma nota equivalente uma oitava abaixo, dobrando o tamanho dessa fração.
Por exemplo: partindo da corda de comprimento unitário, a primeira divisão corresponde a 2/3 de seu comprimento (um ciclo de quinta justa); a segunda divisão (segundo ciclo de quinta justa) corresponde a 2/3 de 2/3, ou seja, 4/9 do comprimento da corda, que é menor que 1⁄2. Portanto, aplicamos um ciclo de oitava para obter uma nota equivalente mais grave, que corresponde a 8/9 do comprimento inicial. E o processo continua, sempre aplicando ciclos de quintas justas e ciclos de oitavas quando necessário.
Dessa forma, é possível obter as frações correspondentes às notas de uma escala musical compreendidas entre a metade da corda solta e seu comprimento total. Num violão, por exemplo, essas medidas estão marcadas ao longo do braço do instrumento, como mostra a figura:
Com base nessas informações, responda às questões abaixo:
a) Quantos ciclos de quintas e oitavas são necessários para se obter a nota correspondente a 128/243 (ou aproximadamente 52,67%) do comprimento da corda solta?
São necessários 5 ciclos de quinta e 2 ciclos de oitava.
b) Que fração da corda obteremos após 8 ciclos de quinta e 4 de oitava? A que
porcentagem do comprimento da corda essa fração corresponde?
Obteremos 4096/6561=0,62. Aproximadamente 62,42% do comprimento da corda.
c) E após 12 ciclos de quintas e 7 de oitava?
d) Qual dessas frações anteriores mais se aproxima do comprimento inicial da corda?
A que mais se aproximou do comprimento inicial da corda (2/3=0,66) foi: 4096/
6561=0,62 e 512/729=0,70.
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